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Dans Lockdown, les mathématiciens fissurent une énigme de géométrie tenace

À la mi-mars, les mathématiciens Joshua Greene et Andrew Lobb se sont retrouvés dans la même situation: enfermés et luttant pour s’adapter alors que la pandémie de Covid-19 se développait devant leurs portes. Ils ont décidé de s’en sortir en se lançant dans leurs recherches.

«Je pense que la pandémie a vraiment été en quelque sorte galvanisante», explique Greene, professeur au Boston College. « Nous avons chacun décidé qu’il serait préférable de s’appuyer sur certaines collaborations pour nous soutenir. »

Histoire originale réimprimée avec la permission de Magazine Quanta, une publication indépendante de la rédaction de la Fondation Simons dont la mission est d’améliorer la compréhension du public des sciences en couvrant les développements et les tendances de la recherche en mathématiques et en sciences physiques et de la vie.

L’un des problèmes examinés par les deux amis était une version d’une question de géométrie non résolue vieille d’un siècle.

«Le problème est si facile à énoncer et à comprendre, mais il est vraiment difficile», explique Elizabeth Denne de Washington and Lee University.

Cela commence par une boucle fermée – tout type de chemin sinueux qui se termine là où il commence. Le problème sur lequel Greene et Lobb ont travaillé prédit, fondamentalement, que chaque chemin contient des ensembles de quatre points qui forment les sommets de rectangles de n’importe quelle proportion souhaitée.

Bien que ce «problème de la cheville rectangulaire» semble être le genre de question qu’un étudiant en géométrie du secondaire pourrait régler avec une règle et une boussole, il résiste aux meilleurs efforts des mathématiciens depuis des décennies. Et quand Greene et Lobb ont décidé de s’y attaquer, ils n’avaient aucune raison particulière de s’attendre à mieux.

De tous les différents projets sur lesquels il travaillait, Greene dit: «Je pensais que c’était probablement le moins prometteur.»

Mais à mesure que la pandémie montait, Greene et Lobb, qui sont à l’Université de Durham en Angleterre et à l’Okinawa Institute of Science and Technology, ont tenu des appels hebdomadaires Zoom et ont eu une succession rapide de perspectives. Puis, le 19 mai, alors que certaines parties du monde commençaient à peine à rouvrir, ils ont émergé à leur manière et ont proposé une solution.

Leur dernière preuve – montrant que les rectangles prédits existent bel et bien – transporte le problème dans un tout nouveau cadre géométrique. Là, la question tenace cède facilement.

« C’est un peu bizarre », explique Richard Schwartz de la Brown University. « C’était juste la bonne idée pour ce problème. »

Repenser les rectangles

Le problème de la cheville rectangulaire est une émanation proche d’une question posée par le mathématicien allemand Otto Toeplitz en 1911. Il a prédit que toute courbe fermée contient quatre points qui peuvent être connectés pour former un carré. Son «problème de la cheville carrée» reste non résolu.

«C’est un vieux problème épineux que personne n’a réussi à résoudre», dit Greene.

Pour comprendre pourquoi le problème est si difficile, il est important de connaître les types de courbes dont parle le problème des chevilles carrées, qui sont également importantes pour la preuve de Greene et Lobb.

La paire a résolu un problème de courbes fermées qui sont à la fois continues et lisses. Continu signifie qu’ils n’ont pas de pauses. Lisse signifie qu’ils n’ont pas non plus de coins. Les courbes lisses et continues sont celles que vous dessineriez probablement si vous vous asseyiez avec un crayon et du papier. Ils sont «plus faciles à mettre la main», dit Greene.

Les courbes lisses et continues contrastent avec les courbes qui sont simplement continues, mais pas lisses – le type de courbe qui figure dans la conjecture de cheville carrée de Toeplitz. Ce type de courbe peut avoir des coins, des endroits où ils virent soudainement dans des directions différentes. Un exemple frappant d’une courbe avec de nombreux coins est le flocon de neige fractal Koch, qui n’est en fait composé que de coins. Le flocon de neige de Koch et d’autres courbes similaires ne peuvent pas être analysés à l’aide de calculs et de méthodes connexes, ce qui les rend particulièrement difficiles à étudier.

« Certains continus [non-smooth] les courbes sont vraiment désagréables », dit Denne.

Mais encore une fois, le problème résolu par Greene et Lobb implique des courbes lisses et donc continues. Et au lieu de déterminer si ces courbes ont toujours quatre points qui font un carré – une question qui a été résolue pour des courbes lisses et continues en 1929 – ils ont cherché à savoir si ces courbes ont toujours des ensembles de quatre points qui forment des rectangles de tous les «proportions». ce qui signifie les rapports de leurs longueurs latérales. Pour un carré, le rapport hauteur / largeur est de 1: 1, tandis que pour de nombreux téléviseurs haute définition, il est de 16: 9.

Illustration: Samuel Velasco / Quanta Magazine

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Written by Naruto Uzumaki

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