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Le nouveau pont mathématique au-delà du dernier théorème de Fermat

Quand Andrew Wiles a prouvé le dernier théorème de Fermat au début des années 1990, sa preuve a été saluée comme une avancée monumentale non seulement pour les mathématiciens mais pour toute l’humanité. Le théorème est la simplicité elle-même – il postule que x n + yn = zn n’a pas de solutions entières positives quand n est supérieur à 2. Pourtant, cette simple affirmation a séduit des légions de prétendants pendant plus de 350 ans, depuis que le mathématicien français Pierre de Fermat l’a noté en 1637 en marge d’une copie de Diophantus. Arithmetica. Fermat, notoirement, a écrit qu’il avait découvert « une preuve vraiment merveilleuse, que cette marge est trop étroite pour contenir. » Pendant des siècles, les mathématiciens professionnels et les amateurs ont cherché la preuve de Fermat – ou n’importe quelle preuve du tout.

Histoire originale réimprimée avec la permission de Magazine Quanta, une publication indépendante de la rédaction de la Fondation Simons dont la mission est d’améliorer la compréhension du public des sciences en couvrant les développements et les tendances de la recherche en mathématiques et en sciences physiques et de la vie.

La preuve que Wiles a finalement trouvé (aidé par Richard Taylor) était quelque chose que Fermat n’aurait jamais imaginé. Il a abordé le théorème indirectement, au moyen d’un énorme pont que les mathématiciens avaient supposé exister entre deux continents éloignés, pour ainsi dire, dans le monde mathématique. La preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat se résumait à établir ce pont entre seulement deux petites parcelles de terrain sur les deux continents. La preuve, qui était pleine de nouvelles idées profondes, a déclenché une cascade de résultats supplémentaires sur les deux côtés de ce pont.

De ce point de vue, la preuve impressionnante de Wiles n’a résolu qu’une minuscule pièce d’un puzzle beaucoup plus grand. Sa preuve était «l’une des meilleures choses en mathématiques du 20e siècle», a déclaré Toby Gee de l’Imperial College de Londres. Pourtant, «ce n’était encore qu’un tout petit coin» du pont conjecturé, connu sous le nom de correspondance de Langlands.

Le pont complet offrirait aux mathématiciens l’espoir d’éclairer de vastes étendues de mathématiques en faisant passer des concepts dans les deux sens. De nombreux problèmes, y compris le dernier théorème de Fermat, semblent difficiles d’un côté du pont, pour se transformer en problèmes plus faciles lorsqu’ils sont déplacés de l’autre côté.

Après que Wiles ait fourni sa preuve, d’autres mathématiciens ont étendu son pont avec impatience à des portions légèrement plus grandes des deux continents. Mais ils ont heurté un mur. Il existe deux directions naturelles pour prolonger le pont, mais pour les deux, la méthode Taylor-Wiles a fait face à ce qui semblait être une barrière insurmontable.

Andrew Wiles, le mathématicien qui a prouvé le dernier théorème de Fermat, a reçu le prix Abel en 2016.Photo: Alain Goriely / Mathematical Institute at University of Oxford

«Les gens voulaient faire cela depuis longtemps», a déclaré Ana Caraiani de l’Imperial College de Londres. Mais « nous ne pensions pas que c’était possible. »

Maintenant, deux articles – représentant l’aboutissement des efforts de plus d’une douzaine de mathématiciens – ont surmonté cet obstacle, résolvant essentiellement les deux problèmes. Finalement, ces résultats peuvent aider les mathématiciens à prouver le dernier théorème de Fermat pour certains systèmes numériques au-delà des nombres entiers positifs.

Ce sont des «résultats déterminants», a déclaré Matthew Emerton de l’Université de Chicago. « Il y a des phénomènes fondamentaux de théorie des nombres qui sont révélés, et nous commençons à peine à comprendre ce qu’ils sont. »

Aiguille sous vide

Un côté du pont de Langlands se concentre sur certaines des équations les moins compliquées que vous pouvez écrire: les équations «diophantiennes», qui sont des combinaisons de variables, d’exposants et de coefficients tels que y = x2 + 6x + 8, ou x3 + y3 = z3 . Pendant des millénaires, les mathématiciens ont essayé de déterminer quelles combinaisons de nombres entiers satisfaisaient une équation diophantienne donnée. Ils sont principalement motivés par la simplicité et la nature de cette question, bien que certains de leurs travaux aient récemment eu des applications imprévues dans des domaines tels que la cryptographie.

Depuis l’époque des anciens Grecs, les mathématiciens ont su trouver les solutions de nombres entiers aux équations diophantiennes qui n’ont que deux variables et aucun exposant supérieur à 2. Mais la recherche de solutions de nombres entiers est tout sauf simple avec des équations qui ont de plus grandes exposants, en commençant par des courbes elliptiques. Ce sont des équations qui ont y2 à gauche et une combinaison de termes dont la puissance la plus élevée est 3, comme x3 + 4x + 7, à droite. Ils sont un «problème massivement plus difficile» que les équations avec des exposants inférieurs, a déclaré Gee.

De l’autre côté du pont, des objets vivants appelés formes automorphes, qui s’apparentent à des colorations hautement symétriques de certains pavages. Dans les cas étudiés par Wiles, le carrelage pourrait être quelque chose comme M.C. Les célèbres pavages d’Escher d’un disque avec des poissons ou des anges et des démons qui deviennent plus petits près de la frontière. Dans l’univers Langlands plus large, le carrelage pourrait plutôt remplir une boule tridimensionnelle ou un autre espace de dimension supérieure.

Ces deux types d’objets mathématiques ont des saveurs complètement différentes. Pourtant, au milieu du 20e siècle, les mathématiciens ont commencé à découvrir des relations profondes entre eux, et au début des années 1970, Robert Langlands de l’Institute for Advanced Study avait conjecturé que les équations diophantiennes et les formes automorphes correspondaient d’une manière très spécifique.

Robert Langlands, qui a conjecturé la correspondance influente de Langlands il y a environ 50 ans, donnant une conférence à l’Institute for Advanced Study de Princeton, New Jersey, en 2016.Photographie: Dan Komoda / Institute for Advanced Study

À savoir, pour les équations diophantiennes et les formes automorphes, il existe un moyen naturel de générer une séquence infinie de nombres. Pour une équation diophantienne, vous pouvez compter le nombre de solutions de l’équation dans chaque système arithmétique de style horloge (par exemple, dans l’horloge de 12 heures habituelle, 10 + 4 = 2). Et pour le type de forme automorphe qui apparaît dans la correspondance de Langlands, vous pouvez calculer une liste infinie de nombres analogues aux niveaux d’énergie quantique.

Si vous n’incluez que les arithmétiques d’horloge qui ont un nombre premier d’heures, Langlands a supposé que ces deux séquences de nombres correspondent dans un éventail étonnamment large de circonstances. En d’autres termes, étant donné une forme automorphe, ses niveaux d’énergie régissent la séquence d’horloge de certaines équations diophantiennes, et vice versa.

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