Les mathématiciens ouvrent un nouveau front sur un ancien problème de nombres

En tant qu’élève du secondaire au milieu des années 1990, Pace Nielsen a rencontré une question mathématique avec laquelle il se débat encore à ce jour. Mais il ne se sent pas mal: le problème qui l’a captivé, appelé la conjecture des nombres parfaits impairs, existe depuis plus de 2000 ans, ce qui en fait l’un des plus anciens problèmes non résolus en mathématiques.

Histoire originale réimprimée avec la permission de Magazine Quanta, une publication éditoriale indépendante de la Fondation Simons dont la mission est d’améliorer la compréhension publique de la science en couvrant les développements et les tendances de la recherche en mathématiques et en sciences physiques et de la vie.

Une partie de l’attrait de longue date de ce problème tient à la simplicité du concept sous-jacent: un nombre est parfait s’il s’agit d’un entier positif, n, dont les diviseurs totalisent exactement le double du nombre lui-même, 2n. Le premier exemple, le plus simple, est 6, car ses diviseurs (1, 2, 3 et 6) font 12, ou 2 fois 6. Vient ensuite 28, dont les diviseurs de 1, 2, 4, 7, 14 et 28 additionnez jusqu’à 56. Les exemples suivants sont 496 et 8 128.

Leonhard Euler a formalisé cette définition dans les années 1700 avec l’introduction de sa fonction sigma (σ), qui additionne les diviseurs d’un nombre. Ainsi, pour les nombres parfaits, σ ​​(n) = 2n.

Leonhard Euler a établi de nombreuses règles formelles régissant la manière dont les mathématiciens pensent et manipulent les nombres parfaits.Illustration: Jacob Emanuel Handmann

Mais Pythagore était au courant des nombres parfaits en 500 avant notre ère, et deux siècles plus tard, Euclide a conçu une formule pour générer des nombres même parfaits. Il a montré que si p et 2p – 1 sont des nombres premiers (dont les seuls diviseurs sont 1 et eux-mêmes), puis 2p−1 × (2p – 1) est un nombre parfait. Par exemple, si p vaut 2, la formule vous donne 21 × (22 – 1) ou 6, et si p est 3, vous obtenez 22 × (23 – 1) ou 28 – les deux premiers nombres parfaits. Euler a prouvé 2000 ans plus tard que cette formule génère en fait chaque nombre pair parfait, bien qu’on ne sache toujours pas si l’ensemble des nombres même parfaits est fini ou infini.

Nielsen, maintenant professeur à l’Université Brigham Young (BYU), a été pris au piège par une question connexe: existe-t-il des nombres parfaits impairs (OPN)? Le mathématicien grec Nicomachus a déclaré vers 100 EC que tous les nombres parfaits doivent être pairs, mais personne n’a jamais prouvé cette affirmation.

Comme beaucoup de ses pairs du 21e siècle, Nielsen pense qu’il n’y a probablement pas d’OPN. Et, comme ses pairs également, il ne pense pas qu’une preuve soit à portée immédiate. Mais en juin dernier, il a trouvé une nouvelle façon d’aborder le problème qui pourrait conduire à davantage de progrès. Il s’agit de la chose la plus proche des OPNs encore découverte.

Une toile qui se resserre

Nielsen a d’abord appris les nombres parfaits lors d’un concours de mathématiques au lycée. Il a fouillé dans la littérature, tombant sur un article de 1974 de Carl Pomerance, un mathématicien maintenant au Dartmouth College, qui prouvait que tout OPN doit avoir au moins sept facteurs premiers distincts.

«Voir que des progrès pouvaient être réalisés sur ce problème m’a donné l’espoir, dans ma naïveté, que je pourrais peut-être faire quelque chose», a déclaré Nielsen. «Cela m’a motivé à étudier la théorie des nombres à l’université et à essayer de faire avancer les choses.» Son premier article sur les OPN, publié en 2003, imposait des restrictions supplémentaires à ces chiffres hypothétiques. Il a montré non seulement que le nombre d’OPN avec k les facteurs premiers distincts sont finis, comme l’avait établi Leonard Dickson en 1913, mais que la taille du nombre doit être inférieure à 24k.

Ce ne sont ni les premières ni les dernières restrictions établies pour les OPN hypothétiques. En 1888, par exemple, James Sylvester a prouvé qu’aucun OPN ne pouvait être divisible par 105. En 1960, Karl K. Norton a prouvé que si un OPN n’est pas divisible par 3, 5 ou 7, il doit avoir au moins 27 facteurs premiers. Paul Jenkins, également à BYU, a prouvé en 2003 que le plus grand facteur premier d’un OPN doit dépasser 10 000 000. Pascal Ochem et Michaël Rao ont déterminé plus récemment que tout OPN doit être supérieur à 101500 (et ont ensuite poussé ce nombre à 102000). Nielsen, pour sa part, a montré en 2015 qu’un OPN doit avoir au minimum 10 facteurs premiers distincts.

Pace Nielsen, mathématicien à l’Université Brigham Young, a longtemps étudié les nombres parfaits impairs. Ses derniers travaux suggèrent une nouvelle voie à suivre pour déterminer s’ils existent vraiment.Photographie: Alyssa Lyman / BYU

Même au XIXe siècle, suffisamment de contraintes étaient en place pour inciter Sylvester à conclure que «l’existence de [an odd perfect number]- sa fuite, pour ainsi dire, du réseau complexe de conditions qui l’ourdissent de tous côtés – serait un miracle. Après plus d’un siècle de développements similaires, l’existence des OPN semble encore plus douteuse.

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Written by Naruto Uzumaki

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