Une preuve mathématique historique élimine un obstacle dans la conjecture Top Erdős

Une paire de mathématiciens a résolu le premier morceau de l’une des conjectures les plus célèbres sur les propriétés additives des nombres entiers. Proposée il y a plus de 60 ans par le légendaire mathématicien hongrois Paul Erdős, la conjecture demande quand une liste infinie de nombres entiers sera sûre de contenir des motifs d’au moins trois nombres régulièrement espacés, tels que 26, 29 et 32.

Histoire originale réimprimée avec la permission de Magazine Quanta, une publication indépendante de la Fondation Simons dont la mission est d’améliorer la compréhension publique de la science en couvrant les développements et les tendances de la recherche en mathématiques et en sciences physiques et de la vie.

Erdős a posé des milliers de problèmes au cours de sa carrière, mais la question de savoir quelles listes de nombres contiennent des nombres régulièrement espacés (ce que les mathématiciens appellent des progressions arithmétiques) était l’un de ses favoris de tous les temps. « Je pense que beaucoup de gens le considéraient comme le problème numéro un d’Erdős », a déclaré Timothy Gowers de l’Université de Cambridge. Gowers, qui a remporté la médaille Fields en 1998, a passé de nombreuses heures à essayer de le résoudre. «À peu près tout combinatorialiste additif qui est raisonnablement ambitieux s’est essayé», a-t-il dit, se référant à la branche des mathématiques à laquelle appartient la conjecture.

En règle générale, une liste de nombres plus dense a plus de chances de contenir des progressions arithmétiques qu’une liste plus éparse, donc Erdős a proposé un simple test de densité: il suffit d’additionner les inverses des nombres de votre liste. Si vos nombres sont suffisamment nombreux pour rendre cette somme infinie, Erdős a supposé que votre liste devrait contenir une infinité de progressions arithmétiques de toutes les longueurs finies – triples, quadruples et ainsi de suite.

Maintenant, dans un article mis en ligne le 7 juillet, Thomas Bloom de Cambridge et Olof Sisask de l’Université de Stockholm ont prouvé la conjecture en ce qui concerne les triplets régulièrement espacés, comme 5, 7 et 9. La paire a montré que chaque fois que la somme d’une liste de nombres de réciproques est infinie, elle doit contenir une infinité de triplets régulièrement espacés.

Thomas Bloom de l’Université de Cambridge, avec l’aimable autorisation de Thomas Bloom

«Ce résultat était en quelque sorte un objectif historique pendant de nombreuses années», a déclaré Nets Katz du California Institute of Technology. « C’est un gros problème. »

Un ensemble dont la somme des réciproques à l’infini est les nombres premiers, ces nombres divisibles par seulement 1 et eux-mêmes. Dans les années 1930, Johannes van der Corput a utilisé la structure spéciale des nombres premiers pour montrer qu’ils contiennent effectivement une infinité de triplets régulièrement espacés (tels que 17, 23 et 29).

Mais la nouvelle découverte de Bloom et Sisask signifie que vous n’avez pas besoin d’une connaissance approfondie de la structure unique des nombres premiers pour prouver qu’ils contiennent une infinité de triplets. Tout ce que vous devez savoir, c’est que les nombres premiers sont suffisamment abondants pour que la somme de leurs réciproques soit infinie – un fait que les mathématiciens le savent depuis des siècles. «Le résultat de Thomas et Olof nous dit que même si les nombres premiers avaient une structure complètement différente de celle qu’ils ont réellement, le simple fait qu’il y ait autant de nombres premiers qu’il y a assurerait une infinité de progressions arithmétiques», a écrit Tom Sanders du Université d’Oxford dans un e-mail.

Le nouvel article compte 77 pages et il faudra du temps aux mathématiciens pour le vérifier attentivement. Mais beaucoup sont convaincus que c’est correct. «Cela ressemble vraiment à ce à quoi une preuve de ce résultat devrait ressembler», a déclaré Katz, dont les travaux antérieurs ont jeté les bases de ce nouveau résultat.

Le théorème de Bloom et Sisask implique que tant que votre liste de nombres est suffisamment dense, certains modèles doivent émerger. La découverte obéit à ce que Sarah Peluse d’Oxford a appelé le slogan fondamental de ce domaine des mathématiques (initialement déclaré par Theodore Motzkin): «Le désordre complet est impossible.»

Densité déguisée

Il est facile de créer une liste infinie sans progressions arithmétiques si vous la réduisez suffisamment. Par exemple, considérons la séquence 1, 10, 100, 1 000, 10 000,… (dont la somme des réciproques est la décimale finie 1.11111…). Ces nombres se dispersent si rapidement que vous ne pouvez jamais en trouver trois régulièrement espacés.

Vous pourriez cependant vous demander s’il existe des ensembles de nombres beaucoup plus denses qui évitent encore les progressions arithmétiques. Vous pouvez, par exemple, parcourir la droite numérique et conserver chaque nombre qui n’achève pas une progression arithmétique. Cela crée la séquence 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14,…, qui semble assez dense au début. Mais cela devient incroyablement rare à mesure que vous passez à des nombres plus élevés – par exemple, au moment où vous obtenez des nombres à 20 chiffres, seulement environ 0,000009% des nombres entiers jusqu’à ce point figurent sur votre liste. En 1946, Felix Behrend a proposé des exemples plus denses, mais même ceux-ci deviennent rares très rapidement – un ensemble Behrend qui va jusqu’à 20 chiffres contient environ 0,001% des nombres entiers.

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